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问题1：带电粒子运动

在光滑平面内有带电粒子A，电荷量为$+Q$，质量为 $M$，位于$(L, 0)$处，带电粒子B，电荷量$-q$，质量为 $m$，位于$(0, H)$处，粒子A以固定速度 $v_0$ 向x轴方向运动，粒子B由于电荷间的引力而随之运动，如图所示，求粒子B在任意时刻 $t$ 的轨迹方程。
解：假设粒子A的轨迹方程为：$\begin{cases} x_0=h(t)=L+v_0t \\ y_0=0 \end{cases}$
粒子B的轨迹方程为：$\begin{cases} x=f(t) \\ y=g(t) \end{cases}$
在 $t$ 时刻，粒子A的位置为$(h(t),0)$，粒子B的位置为$(x,y)$，此时经过 $dt$ 时间内，粒子A的位置为$(h(t+dt),0)$，粒子B的位置如下图所示：

此时两粒子之间的引力为：$F=\frac{kQq}{r^2}$，$r^2=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2$

角度：$\sin\theta=\frac{y-y_0}{r},\ \cos\theta=\frac{x-x_0}{r}$

粒子B的加速度为：$a=\frac{F}{m}=\frac{kQq}{mr^2},\ a_x=a\cos\theta,\ a_y=a\sin\theta$

粒子B的速度为：$v=\int_{0}^{T}a dt,\ v_x=v\cos\theta=\int_{0}^{T}a\cos\theta dt,\ v_y=\int_{0}^{T}a\sin\theta$

粒子位移：$x=\int_{0}^{T}v_xdt,\ y=\int_{0}^{T}v_ydt$

$v_x=\int_{0}^{T}a\cos\theta dt=\int_{0}^{T} \frac{kQq}{mr^2} \frac{x-x_0}{r}dt=\frac{kQq}{m}\int_{0}^{T}\frac{x-x_0}{r^3}dt$

$v_x=\frac{kQq}{m}\int_{0}^{T}\frac{x-L-v_0t}{((x-L-v_0t)^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}dt$

假如B与A都在x轴上，距离为L，那么

$a=\frac{kQq}{m(L+v_0t-x)^2}$

$v=\int_{0}^{T}adt=\int_{0}^{T}\frac{kQq}{m(L+v_0t-x)^2}dt$

$x=\int_{0}^{T_0}vdT=\int_{0}^{T_0}\int_{0}^{T}\frac{kQq}{m(L+v_0t-x)^2}dtdT$